FORMULA GENERAL O CUADRÁTICA , DISCRIMINANTE DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

 FORMULA GENERAL O CUADRÁTICA 

0 = ax 2 + bx + c. Si  el discriminante es cero, solamente hay una solución. Si el discriminante es positivo, entonces el símbolo +_ significa que obtendrá dos respuestas. Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax² + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que . A esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.

 

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0.

La forma ax² + bx + c = 0 se llama la forma estándar de una ecuación cuadrática. Antes de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática, es vital estar seguros de que la ecuación tenga esta forma. Si no, podríamos usar los valores incorrectos de a, b, o c y la fórmula dará soluciones incorrectas.

  

Ejemplo
Problema	Reescribe la ecuación 3x + 2x2 + 4 = 5 en su forma estándar e identifica a, b y c.
	3x + 2x2 + 4 = 5 3x + 2x2 + 4 – 5 = 5 – 5	Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0. En este caso, todo lo que tienes que hacer es restar 5 de ambos lados.
	3x + 2x2 – 1 = 0 2x2 + 3x – 1 = 0	Simplifica y escribe los términos con el exponente en la variable en orden descendiente.
	2x2 + 3x – 1 = 0 ↓   ↓   ↓     ax2   bx   c       a = 2, b = 3, c = −1	Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante. Observa que como la constante 1 se resta, c debe ser negativa.
Respuesta	2x2 + 3x – 1 = 0; a = 2, b = 3, c = −1

 

 

Ejemplo
Problema	Reescribe la ecuación 2(x + 3)2 – 5x = 6 en su forma estándar e identifica a, b y c.
	2(x + 3)2 – 5x = 6 2(x + 3)2 – 5x – 6 = 6 – 6	Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0.
	2(x2 + 6x + 9) – 5x – 6 = 0 2x2 + 12x + 18 – 5x – 6 = 0 2x2 + 12x – 5x + 18 – 6 = 0 2x2 + 7x + 12 = 0	Expande el binomio cuadrado, luego simplifica combinando términos semejantes.   Asegúrate de escribir los términos con el exponente en la variable en orden descendiente.
	2x2 + 7x + 12 = 0 ↓   ↓   ↓     a   b   c       a = 2, b = 7, c = 12	Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante.
Respuesta	2x2 + 7x + 12 = 0; a = 2, b = 7, c = 12

La fórmula cuadrática funcionará con cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en la forma estándar, . Para usarla, sigue estos pasos.

 

·         Pon primero la ecuación en su forma estándar.

 

·         Identifica los coeficientes, a, b y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c se restan.

 

·         Sustituye los valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.

 

·         Simplifica lo más posible.

 

·         Usa el ± en frente del radical para separar la solución en dos valore: uno en el que la raíz cuadrada se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.

 

·         Simplifica ambos valores para obtener las posibles soluciones.

 

Son bastantes pasos. Intentemos usar la fórmula cuadrática para primero resolver una ecuación relativamente simple; luego volveremos a resolver usando otro método de factorización.

 

 

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 + 4x = 5.
	x2 + 4x = 5 x2 + 4x – 5 = 0		Primero escribe la ecuación en su forma estándar.
			a = 1, b = 4,  c = −5   Observa que el signo de resta significa que la constante c es negativa.
			Sustituye los valores en la fórmula cuadrática.
			Simplifica, teniendo cuidado de usar los signos correctos.
			Simplifica un poco más.
			Simplifica el radical: .
	o		Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Observa que en una, se suma 6 y en la otra se resta 6..
Respuesta	x = 1 o −5

 

 

Puedes comprobar estas soluciones sustituyendo 1 y −5 en la ecuación original.

 

x = 1	x = −5
x2 + 4x = 5	x2 + 4x = 5
(1)2 + 4(1) = 5	(−5)2 + 4(−5) = 5
1 + 4 = 5	25 ‒ 20 = 5
5 = 5	5 = 5

 

Obtienes enunciados válidos, por lo que sabes que ambas soluciones funcionan: x = 1 o −5. ¡Has resuelto con éxito una ecuación usando la fórmula cuadrática!

DISCRIMINANTE DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA 

En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo.

Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$  es   ${\displaystyle b^{2}-4ac\,}$.

El discriminante del polinomio cúbico

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$ es  ${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,}$.

Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.

El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.

El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática dentro del símbolo de raíz cuadrada: b²-4ac. El discriminante nos indica si hay dos soluciones. una solución, o ninguna.

Si la discriminante es mayor que 0, las raíces x1 y x2 son reales y diferentes.

Si la discriminante es mayor que 0, las raíces x1 y x2 son reales e iguales.

Si la discriminante es menor que 0, las raíces x1 y x2 son.

EJEMPLOS:

Calculamos el discriminante de la siguiente ecuación cuadrática completa:

$$3x^2-2x-1=0$$

Los coeficientes de la ecuación son $a=3$, $b=-2$ y $c=-1$. Los sustituimos en la fórmula del discriminante:

Δ=b2−4⋅a⋅c=Δ=b2−4⋅a⋅c=

=(−2)2−4⋅3⋅(−1)==(−2)2−4⋅3⋅(−1)=

=4+12=16

$$3+4x-x^2=0$$

Los coeficientes son $a=-1$, $b=4$ y $c=3$, por lo que su discriminante es

$$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$$

$$=4^2-4\cdot (-1)\cdot 3=$$

$$=16+12=28$$

Como $\Delta >0$, la ecuación tiene dos soluciones distintas.

$$6x^2-2x=0$$

Los coeficientes son $a=6$, $b=-2$ y $c=0$, por lo que su discriminante es

$$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$$

$$=(-2{)}^2-4\cdot 6\cdot 0=$$

$$=4+0=4$$

Como $\Delta >0$, la ecuación tiene dos soluciones distintas.

$$6x-3x^2-3=0$$

Los coeficientes son $a=-3$, $b=6$ y $c=-3$, por lo que su discriminante es

$$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$$

$$=6^2-4\cdot (-3)\cdot (-3)=$$

$$=36-36=0$$

Como $\Delta =0$, la ecuación tiene una única solución.

$$x^2-9=0$$

Los coeficientes son $a=1$, $b=0$ y $c=-9$, por lo que su discriminante es

$$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$$

$$=0^2-4\cdot 1\cdot (-9)=$$

$$=0+36=36$$

Como $\Delta >0$, la ecuación tiene dos soluciones reales.

$$2x^2-4x+2=0$$

Los coeficientes son $a=2$, $b=-4$ y $c=2$, por lo que su discriminante es

$$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$$

$$=(-4{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=$$

$$=16-16=0$$

Como $\Delta =0$, la ecuación tiene una única solución.

$$2x-x^2+7=0$$

Los coeficientes son $a=-1$, $b=2$ y $c=7$, por lo que su discriminante es

$$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$$

$$=2^2-4\cdot (-1)\cdot 7=$$

$$=4+28=32$$

Como $\Delta >0$, la ecuación tiene dos soluciones distintas.

$$9x^2+2=0$$

Los coeficientes son $a=9$, $b=0$ y $c=2$, por lo que su discriminante es

$$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$$

$$=0^2-4\cdot 9\cdot 2=$$

$$=0-72=-72$$

Como $\Delta <0$, la ecuación no tiene soluciones reales.

$$x^2+3x-10=0\to D=3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49$$

$${}^{}$$